Сплайны - теоретическое введение.

1. Общие сведения

Построение гладких кривых или поверхностей в соответствии с набором заданных вершин является типовой задачей компьютерной графики. В том случае, если мы используем кубические B-сплайны, то из заданной последовательности вершин необходимо выбрать две соседние вершины, после чего между ними будет построена кривая кубического полинома на основе позиции четырех точек: две выбранные и две соседние с ними.

Таким образом B-сплайн позволяет получить более сглаженные кривые, за счет того, что создаваемая кривая не пройдет точно через заданные точки.

2. Параметрическое представление сплайнов

Для того чтобы использовать сложные кривые на практике, обычно используется их параметрическое представление. Таким образом, любая из точек на какой-либо части кривой, лежащая между двумя заданными последовательными точками Pi и Pi + 1, которая будет иметь координаты (x(t); y(t)) , значение t будет меняться от 0.0 до 1.0, в том случае, если строится часть кривой от Pi до Pi+1.

В том случае, если есть заданные точки P0(x0, y0), P1(x1, y1), … Pn(xn, yn), то часть кривой B сплайна между точками Pi и Pi+1 определяется как последовательностью точек с координатами (x(t), y(t)), при 0,0 ≤ t ≤ 1,0:

• x(t) = a0+ a1t + a2t2 + a3t3;
• y(t) = b0+ b1t + b2t2 + b3t3.

Эти уравнения содержат следующие коэффициенты:

• a0 = (xi-1 + 4xi + xi+1)/6;
• a1 = (-xi-1 + xi+1)/2;
• a2 = (xi-1 - 2xi + xi+1)/2;
• a3 = (-xi-1 + 3xi - 3xi+1 + xi+2)/6.

Коэффициенты b0, … b3 вычисляются аналогично по значениям yi-1, … yi+2. Для производительности алгоритма важно, что ai и bi вычисляются только один раз для каждого сегмента кривой.

3. Свойства сплайнов

Кривые типа B-сплайна обладают свойством непрерывности даже вторых производных x²(t) и y²(t) в точках стыковки двух соседних сегментов кривой. Для определения свойств кривой в точках стыковки двух сегментов рассмотрим функцию x(t) и ее первую и вторую производные для значений t = 0 и t = 1.

Функция y(t) будет обладать аналогичными свойствами.

x(0) = a0 = (xi-1 + 4xi + xi+1)/6;

x(1) = a1 + a2 + a3 + a2 = (xi + 4xi+1 + xi+2)/6.

То есть значение x(0) не равно в точности x-координате xi точки Pi: оно зависит от позиций точек Pi-1 и Pi+1. Для трех последовательных точек на кривой A, B и C точка B принадлежит сегменту AB и одновременно сегменту BC.

Для первого сегмента A = Pi, B = Pi+1, C = Pi+2. Тогда x~B = x(1) = (xA + 4xB + xC)/6, где x~B – вычисленное значение координаты x для точки B.

Рис.1. Фрагмент сплайна

Для второго сегмента A = Pi-1, B = Pi, C = Pi+1 и x~B = x(0) = (xA + 4xB + + xC)/6. Одинаковые результаты означают непрерывность функции x(t) в точке B. Продифференцировав x(t) дважды, найдем x'(t) и x²(t):

x'(t) = a1 + 2a2t + 3a3t2; x²(t) = 2a2 + 6a3t.

Подставляя в них значения t = 0 и t = 1, находим:

x'(0) = a1 = (-xi-1 + xi+1)/2; x'(1) = a1 + 2a2 + 3a3 = (-xi + xi+2)/2;

x²(0) = 2a2 = xi-1 - 2xi + xi+1; x²(1) = 2a2 + 6a3 = xi - 2xi+1 + xi+2.

Тогда значение первой производной в точке B, вычисленное для первого сегмента кривой, (x')~B = x'(1) = (-xA + xC)/2 совпадает со значением первой производной в той же точке, вычисленное для следующего сегмента, (x')~B = x'(0).

Точно так же и значение второй производной в точке B, вычисленное для первого сегмента кривой, (x²)~B = x²(1) = xA - 2xB + xC совпадает со значением второй производной в той же точке, вычисленное для следующего сегмента (x²)~B = x² (0).

Таким образом, не только сама кривая, но и ее первые две производные непрерывны в каждой точке кривой, то есть вся кривая является очень гладкой.

Для расчета любого сегмента кривой между точками Pi и Pi+1 используются также точки Pi-1 и Pi+2. Тогда если есть точки P0, P1, … Pn-1 и Pn, то первый сегмент кривой будет располагаться между точками P1 и P2, а последний – между точками Pn-2 и Pn-1. То есть начальной и конечной точками кривой будут P1 и Pn-1, а не P0 и Pn. Поэтому для замкнутой кривой следует три точки в начале или в конце последовательности задавать дважды.


Обсуждение данного урока: Сплайны - теоретическое введение. OpenGL.
Далее: 8.2 Реализация программы построения равномерного B сплайна и его корректировки.